Экономическая часть
Рассмотрим применение описанной теории к задаче определения оптимального портфеля ценных бумаг. Сформулируем задачу:
Имеется n
видов ценных бумаг, имеющих доходности выражающиеся
случайными величинами
gif">, распределенными по нормальному закону с
параметрами
.
Помимо этого, имеется один вид ценных бумаг, дающий гарантированную доходность 
. Некий финансист ищет
такой способ вложения единицы капитала в эти ценные бумаги, который обеспечил
бы максимальный уровень дохода с заданной вероятностью a
.
Покажем, что указанную задачу можно свести к задаче математического программирования:
Предположим, что вектор 
задает вложения финансиста в
ценные бумаги соответствующего типа, а величина 
вложения в ценные бумаги с
гарантированной доходностью. Тогда доход финансиста представляет собой
случайную величину:
Очевидно, что характеристики этой случайной величины зависят от решения финансиста, и что эта величина распределена по нормальному закону:
Чтобы перейти от задачи максимизации к задаче минимизации, запишем необходимую нам функцию распределения следующим образом:
Запишем функцию квантили уровня a
для этой функции распределения:
При заданном уровне a
нам требуется минимизировать эту функцию, тем самым, максимизируя искомый доход R
.
Для этого заметим, что случайная величина (-
R
)
распределена также по нормальному закону с параметрами 
. Тогда можно записать
функцию распределения этой величины, используя функцию Лапласа:
Следовательно, можно заключить, что:
Обозначим 
квантиль уровня a
, т.е. решение уравнения
Учитывая монотонность функции Лапласа, неравенство можно записать в следующем виде:
Отсюда можно легко получить выражение, дающее ключ к виду функции квантили:
Учитывая определение функции квантили:
получаем
Характеристики распределения случайной величины R
выглядят следующим образом:
Таким образом, исходная задача сводится к следующей задаче математического программирования:
Покажем, как указанная задача математического программирования может быть сведена к задаче квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений:
Введем в рассмотрение параметр
Тогда задачу можно записать в следующем эквивалентном виде:
При каждом фиксированном значении параметра данная задача может быть сформулирована следующим образом:
Это задача квадратичного программирования с
параметром в правой части ограничений. Решая эту задачу для каждого значения
параметра получаем значения функции 
, а, следовательно, и значения искомой
минимизируемой функции
Таким образом исходная задача сводится к последовательному решению двух задач - задачи квадратичного программирования с параметром в правой части ограничений и задаче одномерной оптимизации.
